On Pexider Differences in Topological Vector Spaces

and Applied Analysis 3 It follows from 2.1 and 2.6 that 2f ( x y 2 ) − g x − h(y) 2f ( x y 2 ) − g(y z) − h x − z − [ 2f (x z 2 ) − g 2z − h x − z ] [ 2f ( y 2z 2 ) − g 2z − h(y) ] − [ 2f ( y 2z 2 ) − g(y z) − h z ] [ 2f (x z 2 ) − g x − h z ] ∈ 3V − 2V 2.7 for all x, y ∈ X with ‖x‖ ‖y‖ < d. Hence, by 2.1 and 2.7 , we have 2f ( x y 2 ) − g x − h(y) ∈ 3V − 2V 2.8 for all x, y ∈ X. Letting x 0 y 0 in 2.8 , we get 2f (y 2 ) − g 0 − h(y) ∈ 3V − 2V, 2f (x 2 ) − g x − h 0 ∈ 3V − 2V 2.9 for all x, y ∈ X. It follows from 2.8 and 2.9 that 2f ( x y 2 ) − 2f (x 2 ) − 2f (y 2 ) 2f 0 2f ( x y 2 ) − g x − h(y) − [2f(x 2 ) − g x − h 0 ] − [ 2f (y 2 ) − g 0 − h(y)] [2f 0 − g 0 − h 0 ] ∈ 2 W −W 2.10 for all x, y ∈ X, where W 3V − 2V . So we get from 2.10 that f ( x y ) − f x − f(y) f 0 ∈ W −W 2.11 for all x, y ∈ X. Setting y x in 2.10 , we infer that f x − 2f (x 2 ) f 0 ∈ W −W 2.12 4 Abstract and Applied Analysis for all x ∈ X. It is easy to prove that f ( 2 1x ) 2n 1 − f 2 x 2n f 0 2n 1 ∈ 1 2n 1 W −W ⊆ W −W, 2.13 f 2x 2n − f x n ∑